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Circunferencia goniométrica
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La circunferencia unidad y el triángulo rectángulo asociado.

La circunferencia goniométrica, trigonométrica, unitaria es una circunferencia de radio uno, normalmente con su centro en el origen (0, 0) de un sistema de coordenadas, de un plano euclídeo o complejo. Dicha circunferencia se utiliza con el fin de poder estudiar fácilmente las razones trigonométricas y funciones trigonométricas, mediante la representación de triángulos rectángulos auxiliares.

Si (x, y) es un punto de la circunferencia unidad del primer cuadrante, entonces x e y son las longitudes de los catetos de un triángulo rectángulo cuya hipotenusa tiene longitud 1. Aplicando el teorema de Pitágoras, x e y satisfacen la ecuación:

x 2 + y 2 = 1 = {displaystyle x^{2}+y^{2}=1=} {displaystyle x^{2}+y^{2}=1=} radio = hipotenusa.

Índice

1 Funciones trigonométricas en la circunferencia unitaria
1.1 Funciones trigonométricas recíprocas.
2 Topología
3 Véase también

Funciones trigonométricas en la circunferencia unitaria
Circunferencia unidad y relación pitagórica.svg
Circunferencia unidad y triángulo rectángulo.svg

Si (x, y) es un punto de la circunferencia unidad, y el radio que tiene el origen en (0, 0), forma un ángulo ? {displaystyle alpha ,} alpha , con el eje X, las principales funciones trigonométricas se pueden representar como razón de segmentos asociados a triángulos rectángulos auxiliares, de la siguiente manera:

El seno es la razón entre el cateto opuesto (a) y la hipotenusa (c)

sin ? ( ? ) = a c {displaystyle sin(alpha )={frac {a}{c}}} {displaystyle sin(alpha )={frac {a}{c}}}

y dado que la hipotenusa es igual al radio, que tiene valor = 1, se deduce:

sin ? ( ? ) = a {displaystyle sin(alpha )=a,} {displaystyle sin(alpha )=a,}

El coseno es la razón entre el cateto adyacente (b) y la hipotenusa (c)

cos ? ( ? ) = b c {displaystyle cos(alpha )={frac {b}{c}}} cos(alpha)= frac{b}{c}

y como la hipotenusa tiene valor = 1, se deduce:

cos ? ( ? ) = b {displaystyle cos(alpha )=b,} {displaystyle cos(alpha )=b,}

La tangente es la razón entre el cateto opuesto y el adyacente

tan ? ( ? ) = a b {displaystyle tan(alpha )={frac {a}{b}}} tan(alpha)= frac{a}{b}

Principales valores de las razones trigonométricas representados como segmentos respecto de la circunferencia goniométrica.
Valores de los ángulos más comunes y las coordenadas correspondientes sobre la circunferencia goniométrica.

Por semejanza de triángulos: A E A C = O A O C {displaystyle {frac {AE}{AC}}={frac {OA}{OC}}} {displaystyle {frac {AE}{AC}}={frac {OA}{OC}}}

como O A = 1 , {displaystyle OA=1,} {displaystyle OA=1,} se deduce que: A E = A C O C {displaystyle AE={frac {AC}{OC}}} {displaystyle AE={frac {AC}{OC}}}

tan ? ( ? ) = A E ¯ {displaystyle tan(alpha )={overline {AE}},} {displaystyle tan(alpha )={overline {AE}},}

Funciones trigonométricas recíprocas.

La cosecante, la secante y la cotangente, son las razones trigonométricas recíprocas del seno, coseno y tangente:

csc ? ( ? ) = 1 sin ? ( ? ) = O F ¯ {displaystyle csc(alpha )={frac {1}{sin(alpha )}}={overline {OF}}} {displaystyle csc(alpha )={frac {1}{sin(alpha )}}={overline {OF}}}

sec ? ( ? ) = 1 cos ? ( ? ) = O E ¯ {displaystyle sec(alpha )={frac {1}{cos(alpha )}}={overline {OE}}} {displaystyle sec(alpha )={frac {1}{cos(alpha )}}={overline {OE}}}

cot ? ( ? ) = 1 tan ? ( ? ) = A F ¯ {displaystyle cot(alpha )={frac {1}{tan(alpha )}}={overline {AF}}} {displaystyle cot(alpha )={frac {1}{tan(alpha )}}={overline {AF}}}

Los valores de la cotangente, la secante y la cosecante se obtienen, análogamente, mediante semejanza de triángulos.
Topología

En topología, a la circunferencia unitaria (también denominado disco unidad) se la clasifica como S 1 {displaystyle S^{1}} S^1; la generalización para una dimensión más es la esfera unidad S 2 {displaystyle S^{2}} S^{2}.
Véase también

Wikimedia Commons alberga una categoría multimedia sobre Circunferencia goniométrica.
Medida de ángulos
Razones trigonométricas

Categorías:

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