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Escuchar "matemática actuarial para todos -Con ejercicios resueltos e ilustraciones de GeoGebra- formato pdf - MARCO SINCHI"
Síntesis del Episodio
Este libro puede ser descargado en el siguiente enlace: https://drive.google.com/open?id=0BzoLVib3mnGeSmdpMDZES05Odm8
MATEMÁTICA ACTUARIAL
para todos.
Con ejercicios resueltos e ilustraciones de GeoGebra
MARCO SINCHI.
a Cynthia Gabriela.
Índice
Prefacio. 6
1. ¿Qué es la matemática actuarial? 7
1.1 Riesgos aleatorios comunes: 7
1.2 Tipos de Comportamientos frente al riesgo 8
1.3 ¿Cuáles son los temas de estudio la matemática actuarial? 10
2 Método de cálculo: seguros de vida privados. 11
2.1 Signos, códigos y significados. 12
2.2 La x 12
2.3 El lx 13
2.4 El dx 13
2.5 La 13
2.6 F(x) 13
2.7 S(x) 14
2.8 La 15
2.9 La 15
2.10 El Lx 16
2.11 La mx 16
2.12 El Tx 16
2.13 La 17
2.14 Ejercicios del capítulo 17
3 Modelos matemáticos. 18
3.1 Valores de conmutación 18
3.2 El ó VA 18
3.3 Valor de conmutación 19
3.4 Valor de conmutación 19
3.5 Valor de conmutación 19
3.6 Valor de conmutación 19
3.7 Valor de conmutación 19
3.8 Ejercicios del capítulo 20
3.9 Autoexamen 1 20
3.10 Apéndice del Capítulo 20
3.11 La mortalidad y la tabla de mortalidad. 20
4 Seguros de vida. 25
4.1 Operaciones de seguros pagaderas al fin del año de fallecimiento 25
4.2 Valor actuaria de una operación de seguros que paga un capital unitario al fin del año de fallecimiento de una persona de edad x siempre y cuando esto suceda pasado t años y dentro del año siguiente. 25
4.3 Valor actuarial de una operación de seguro que paga un capital unitario al fin del año de fallecimiento de una persona de edad x siempre que esto ocurra dentro de los n años siguientes. 26
4.4 Valor actuarial que paga un capital unitario al fin de un año de fallecimiento cuando sea que ocurra. 27
4.5 Ejercicios del capítulo 27
5 Seguros de vida diferidos . 29
5.1 Valor actuarial de una operación de seguros diferido de n años cuya prestación consiste en el pago de una unidad monetaria al fin del año de fallecimiento cuando sea que ocurra. 29
5.2 Valor actuarial diferido de una operación de seguros que paga un capital unitario al fin del año de fallecimiento si esto ocurre pasado m años pero dentro de n años 30
5.3 Valor actuarial de un capital unitario si transcurridos n años de x, el asegurado sobrevive. 31
5.4 Ejercicios del capítulo 31
6 Seguros de vida Variables. 33
6.1 Valor actuarial de una operación de segurosde vida temporal que paga una unidad monetaria si esque fallece entre x y x+1, dos unidades monetarias sifallece entre x+1 y x+2 y así sucesivamente hasta x+n 33
6.2 Valor actuarial de una operación de seguros de por vida creciente que paga una unidad monetaria si la persona fallece ente x y x+1, 2 unidades monetarias se fallece entre x+1 y x+2 y así hasta omega. 34
6.3 Valor actuarial de una operación de seguros de por vida creciente que paga una unidad monetaria si la persona fallece entre m y m+1, 2 unidades monetarias se fallece entre m+1 y m+2 y así hasta omega. 36
6.4 Valor actuarial de una operación de seguros creciente que paga una unidad monetaria si la persona fallece ente m y m+1, 2 unidades monetarias se fallece entre m+1 y m+2 y así hasta n. 37
6.5 Ejercicios del capítulo 39
6.6 Autoexamen 2 40
7 Rentas vitalicias. 43
7.1 Renta vitalicia anticipada y temporal por n años 43
7.2 Renta vitalicia anticipada de por vida 43
7.3 Renta vitalicia anticipada y diferida 43
7.4 Renta vitalicia anticipada y diferida y temporal 43
7.5 Ejercicios del capítulo 43
8 Rentas vitalicias vencidas. 44
8.1 Renta vitalicia vencida de por vida 44
8.2 Renta vitalicia vencida temporal 44
8.3 Renta vitalicia vencida diferida de por vida 44
8.4 Renta vitalicia vencida diferida y temporal 44
8.5 Ejercicios del capítulo 44
9 Valores actuariales de rentas fraccionarias. 46
9.1 Renta fraccionaria vencida de por vida 46
9.2 Renta fraccionaria vencida y diferida de por vida 46
9.3 Renta fraccionaria vencida y temporal 46
9.4 Renta vitalicia fraccionaria vencida diferida y temporal 46
9.5 Ejercicios del capítulo 46
9.6 Autoexamen 3 47
10 Introducción a los seguros colectivos y sociales. 48
10.1 Grupo de supervivencia 48
10.2 Probabilidad de supervivencia 48
11 Apéndice. 49
11.1 Calculo del periodo de recuperación de la inversión. 49
11.2Análisis de la viabilidad de un proyecto 49
11.3 Ejercicios del Apéndice 49
Formulas del texto 51
Respuesta a los ejercicios impares. 55
Respuestas a los autoexámenes 57
Respuestas a los ejercicios del Apéndice. 58
Bibliografía. 59
"Dios hizo los números enteros, el resto es el trabajo de los hombres."
Leopold Kronecker.
Prefacio
Este libro surgió después de haber recibido un breve curso introductorio de matemática actuarial y haber comprobado que no existen libros didácticos que permitan reforzar los conocimientos recibidos en clase mediante la resolución de ejercicios.
Una verdadera educación integral permite potenciar la capacidad creativa de los estudiantes llevándoles a teorizar y reinventar el conocimiento adquirido en un continuo proceso de crecimiento intelectual mediante la problematización de la realidad, por ello, este libro presenta en un principio los fundamentos y explicaciones cronológicas que permitirán comprender las bases estructurales para la resolución de los ejercicios. Posteriormente se deja al estudiante la mayor cantidad de demostraciones y ejercicios por resolver.
Mi agradecimiento al Econ. Mgt. Luis Gabriel Pinos L por haberme enseñado los fundamentos básicos de la matemática actuarial.
Finalmente espero que este libro sea útil para usted amig@ lector o lectora, sus críticas, sugerencias y detección de errores, en caso de existir, serán de gran ayuda para las próximas ediciones.
Marco Sinchi.
Capítulo1
¿Qué es la matemática actuarial?
La matemática actuarial es la ciencia que le permite cuantificar el riesgo en términos monetarios.
Riesgos aleatorios comunes:
-Incendio de propiedades.
-Pérdida financiera.
-Muerte.
-Supervivencia...
La matemática actuarial brinda seguridad financiera.
El los seguros de vida la matemática actuarial cuantifica el riesgo incierto mediante la utilización de datos de mortalidad (los cuales se expresan en tablas y varían en cada región o país). Estas tablas permiten obtener el valor de una prima que pueda cubrir el monto asegurable en caso de que se produzca el siniestro= ocurrencia del riesgo asegurado.
Tipos de Comportamientos frente al riesgo.
Adversos al riesgo-
Sacrifico recursos para no asumir riesgos
-Pago una prima.
Propensos al riesgo-
Me gusta el riesgo
-La utilidad respecto al riesgo es creciente.
Neutros al riesgo-
Con riesgo o sin riesgo igual la vida sigue.
¿Cuáles son los temas de estudio la matemática actuarial?
-Riesgos
-Utilidades.
-Seguros de vida y seguros de no vida
Cálculo de primas para Seguros privados.
-Seguros de vida en caso de muerte.
-Seguros de vida en caso de vida.
-Seguros de vida mixtos.
Cálculo de primas para Seguros colectivos y sociales.
Capítulo2
El método de cálculo: seguros de vida privados.
Para realizar los cálculos actuariales de los seguros de vida privados es necesario conocer el significado de las variables utilizadas.
Signos, códigos y significados.
La x
En matemática actuarial la x representa la edad de la persona asegurada la misma que puede estar entre o y .
El lx
El lx indica el número de sobrevivientes a la edad de x.
El dx
dx indica el número de fallecimientos a la edad de x.
La
es la variable aleatoria asociada con la edad de fallecimiento de un recién nacido.
F(x)
La F(x) es la función de distribución.
Ejercicio resuelto:
Representar la probabilidad de fallecimiento un recién nacido entre 15 y 20 años.
F(x)
S(x)
S(x) representa la función de supervivencia
La
Probabilidad de que una persona de edad x sobreviva a la edad x+ t
Ejercicio resuelto:
Plantear la probabilidad de que una persona de dos años sobreviva dos años más.
La
Probabilidad de que una persona de edad x fallezca dentro de t años
Ejercicio resuelto:
Plantear la probabilidad de que una persona de 22 años sobreviva 5 años más.
La
Probabilidad de que una persona de edad x sobreviva a la edad de x+t pero fallezca a la edad x+t+n
Ejercicio resuelto:
Plantear la probabilidad de que una persona de 27 años sobreviva a la edad de30pero muera a los 35
El Lx
El Lx es el promedio de sobrevivientes a la edad de x.
La mx
mx es la fuerza de mortalidad.
El Tx
El Tx es el tiempo futuro de supervivencia
La
es la esperanza de vida completa.
Ejercicios del capítulo
2.1 Representar la probabilidad de fallecimiento un recién nacido entre 45 y 60.
2.2 Representar la función de supervivencia de un recién nacido entre la edad de A y B donde B A.
2.3 Plantear la probabilidad de que una persona de 40 años sobreviva a la edad de 43.
2.4 Plantear
2.5 Plantear
2.6 Si la tabla de mortalidad viene representada por la función:
Calcule la probabilidad de supervivencia desde el origen hasta los 18 años.
2.7 Sabiendo que un determinado sector industrial se caracteriza por y que el colectivo inicial está constituido por 1000 personas se pide calcular:
2.8 Plantear la probabilidad de que una persona de 30 años sobreviva al menos 60 años más.
Capítulo3
Modelos Matemáticos.
Valores de conmutación.
Los valores de conmutación permiten sustituir formulas complejas por simples.
El ó VA
El representa el valor actual financiero de una unidad monetaria.
Valor de conmutación
Valor de conmutación
Valor de conmutación
Valor de conmutación
Valor de conmutación
Ejercicios
3.1 Si ,
3.2 Si ,
Autoexamen 1
1. Si y hallar y
2. ¿Incumbe a la aseguradora probar la ocurrencia del siniestro?
3. ¿Siniestro es la ocurrencia del riesgo?
4. Si
5. Si , calcule
Apéndice del Capítulo3
La mortalidad y la tabla de mortalidad.
La tabla de mortalidad refleja la relación años-supervivencia de una sociedad en particular en donde se obtiene restando el número de muertes ocurridas en un año x+1 del número de habitantes de edad x con estos datos se calcula en donde . Luego con la aplicación de las formulas presentadas en los capítulos anteriores de este libro se podrán calcular todos, funciones, probabilidades y valores de conmutación.
Los datos de la tabla variaran de acuerdo a los datos que se usen (generalmente estos datos provienen de censos o registros civiles).
Para los ejercicios se utilizaran los datos de la siguiente tabla.
Capítulo 4
Seguros de vida.
Operaciones de seguros pagaderas al fin del año de fallecimiento
1)Valor actuarial de una operación de seguros que paga un capital unitario al fin del año de fallecimiento de una persona de edad x siempre y cuando esto suceda pasado t años y dentro del año siguiente.
Ejercicio resuelto
Calcular la prima a pagar si el asegurado es una persona de 30 años y fija una suma asegurada de $ 80 000 si fallece entre 60 y 61.
Seguro temporal
2)Valor actuarial de una operación de seguro que paga un capital unitario al fin del año de fallecimiento de una persona de edad x siempre que esto ocurra dentro de los n años siguientes.
Ejercicio resuelto
Una persona de 20 años quiere contratar un seguro cuya suma asegurada es de $ 100 000 si fallece antes de los 60 años determine el valor actuarial.
Seguro de por vida
Valor actuarial que paga un capital unitario al fin de un año de fallecimiento cuando sea que ocurra.
Ejercicio resuelto
Una persona de 10 años quiere contratar un seguro que pague $ 150 000 a sus beneficiarios en caso de fallecimiento cuando sea que ocurra.
Ejercicios del capítulo
4.1 Calcular la prima a pagar si el asegurado es una persona de 50 años y fija una suma asegurada de 90 000 si fallece entre 60 y 61.
4.2 Una persona de 25 años quiere contratar un seguro cuya suma asegurada es de $ 100 000 si fallece antes de los 53 años determine el valor actuarial.
4.3 Una persona de 30 años quiere contratar un seguro que pague $ 200 000 a sus beneficiarios en caso de fallecimiento cuando sea que ocurra.
Capítulo5
Seguros de vida diferidos
1) Valor actuarial de una operación de seguros diferido de n años cuya prestación consiste en el pago de una unidad monetaria al fin del año de fallecimiento cuando sea que ocurra.
Ejercicio resuelto
Calcular el valor de una prima que va a cancelar una persona de 25 años para obtener una cobertura desde los 30 hasta el límite superior de supervivencia cuando sea que acurra si hoy fija una suma asegurada de $ 60 000
Seguro diferido temporal
Valor actuarial diferido de una operación de seguros que paga un capital unitario al fin del año de fallecimiento si esto ocurre pasado m años pero dentro de n años
Ejercicio resuelto
Una persona de 30 años está interesada en una operación de seguros que paga $50 000 si fallece entre 50 y 80 años. Calcule el valor de la prima.
Seguro de capital diferido para caso de vida
Valor actuarial de un capital unitario si transcurridos n años de x, el asegurado sobrevive.
Ejercicio resuelto
Una persona de 20 años está interesada en un seguro que paga $30 000 en caso de que llegue con vida a los 70 años
Ejercicios del capítulo 5
5.1 Calcular el valor de una prima que va a cancelar una persona de 35 años para obtener una cobertura desde los 45 hasta el límite superior de supervivencia cuando sea que acurra si hoy fija una suma asegurada de $ 90 000
5.2 Una persona de 40 años está interesada en una operación de seguros que paga $80 000 si fallece entre 70 y 80 años. Calcule el valor de la prima.
5.3 Una persona de 40 años está interesada en un seguro que paga $780 000 en caso de que llegue con vida a los 85 años.
Capítulo 6
Seguros de vida Variables
Seguro de vida variable y temporal
Valor actuarial de una operación de seguros de vida temporal que paga una unidad monetaria si es que fallece entre x y x+1, dos unidades monetarias si fallece entre x+1 y x+2 y así sucesivamente hasta x+n
Ejercicio resuelto
A una persona de 25 años le interesa una operación de seguros que le pague a sus beneficiarios $10 000 en caso de fallecimiento entre 25 y 26 años, $20 000 entre 26 y 27 años, $30 000 en caso de fallecimiento entre 27 y 28 y así hasta los 40 años. Calcule el valor actuarial
Aquí tenemos que calcular una prima compuesta que se la representará con el símbolo = seguro temporal + seguro variable
En donde
Segunda parte del ejercicio
Seguro de por vida variable
Valor actuarial de una operación de seguros de por vida creciente que paga una unidad monetaria si la persona fallece ente x y x+1, 2 unidades monetarias se fallece entre x+1 y x+2 y así hasta omega.
Ejercicio resuelto
Una persona de 30 años le interesa un seguro que tenga las siguientes coberturas: $5 000 si fallece entre 30 y 31 años, $ 7 000 si fallece entre 30 y 31, $ 9 000 si fallece entre 32 y 33 y así hasta omega.
Seguro variable diferido de por vida
Valor actuarial de una operación de seguros de por vida creciente que paga una unidad monetaria si la persona fallece entre m y m+1, 2 unidades monetarias se fallece entre m+1 y m+2 y así hasta omega.
Ejercicio resuelto
Una persona de 25 años desea las siguientes coberturas $ 65 000 si fallece entre 40 y 41años, $ 70 000 entre 42 y 43, $75 000 entre 43 y 44 y así hasta omega. Calcule el valor actuarial.
Seguro variable diferido y temporal
Valor actuarial de una operación de seguros creciente que paga una unidad monetaria si la persona fallece ente m y m+1, 2 unidades monetarias se fallece entre m+1 y m+2 y así hasta n.
Ejercicio resuelto
Una persona de 20 años desea las siguientes coberturas $ 55 000 si fallece entre 40 y 41años, $ 65 000 entre 42 y 43, $75 000 entre 43 y 44 y así hasta 60. Calcule el valor actuarial.
Ejercicios del capítulo
6.1) A una persona de 35 años le interesa una operación de seguros que le pague a sus beneficiarios $15 000 en caso de fallecimiento entre 35 y 36 años, $ 20 000 entre 36 y 37 años, $ 25 000 en caso de fallecimiento entre 37 y 38 y así hasta los 50 años. Calcule el valor actuarial
6.2) Una persona de 25 años le interés un seguro que tenga las siguientes coberturas: $25 000 si fallece entre 30 y 31 años, $ 37 000 si fallece entre 31 y 32, $ 39 000 si fallece entre 32 y 33 y así hasta omega.
6.3) Una persona de 35 años desea las siguientes coberturas $ 75 000 si fallece entre 50 y 51años, $ 90 000 entre 51 y 52, $105 000 entre 52 y 53 y así hasta omega. Calcule el valor actuarial.
6.4) Una persona de 22 años desea las siguientes coberturas $ 37 000 si fallece entre 60 y 61años, $ 41 000 entre 61 y 62, $45 000 entre 62 y 63 y así hasta los 70. Calcule el valor actuarial.
Autoexamen 2
Para los siguientes ejercicios cuando sea necesario utilizar los valores presentados en la tabla del apéndice del capítulo 3
1. A una persona de 22 años le interesa $60 000 si fallece antes de los 40 años, $65 000 entre 40 y 41 años, $70 000 entre 41 y 42 años y así hasta que cumpla los 60, año en el cual se extingue el beneficio.
2. A una persona de 25 años le interesa los siguientes beneficios $20 000 si fallece entre los 30 y 31 años, $40 000 si fallece entre 31 y 32 y así hasta $180 000 valor que permanece constante . Calcule el valor actuarial.
3. Calcule el valor actuarial de una operación de seguros en las que el asegurado de 40 años pide las siguientes coberturas:
a- $90 000 si fallece antes de cumplir los 60.
b- A la edad de 65 una vez cumplida la jubilación planifica realizar un viaje por un año y pide cobertura por dicho año, fijando una suma asegurada de $65 000
Datos adicionales
El número de personas sobreviviente a la edad de 65 es 83668
El número de personas sobrevivientes un año después es 82416
La tasa de interés es el 4%
es 96699 y el número de fallecidos a la edad de 39 es 137
Calcular la prima total.
4. A una persona de 20 años le interesa una operación de seguros que paga $100 000 si fallece antes de los 40, $180 000 si fallece entre 40 y 41 años, $160 000 entre 41 y 42 años y así sucesivamente hasta los $100 000. Valor que permanece constante. Calcule el valor actuarial.
5. Una persona de 45 años contrata el siguiente plan: $ 30 000 si fallece entre los 51 y 60 años, $20 000 si sobrevive a los 65 años, $40 000 si sobrevive a los 66, año en el cual se acaba el beneficio.
6. Calcular el seguro de vida temporal de uno de 30, si fallece dentro de 10 años, suponiendo que la mortalidad sigue la ley lx=100-X y que el tanto de interés es del 4% anual.
7. Una operación de seguros temporal por 10 años a favor de una persona de x años, proporcionará las siguientes prestaciones al fallecimiento. Pagaderas al fin del año de fallecimiento.
AÑO DE FALLECIMIENTO PRESTACIÓN POR FALLECIMIENTO
1 10
2 10
3 10
4 10
5 9
6 9
7 9
8 8
9 8
10 7
Se pide obtener la prima única neta en símbolos de conmutación correspondiente a las Mx, Mx+4, Mx+7, Mx+9, Mx+10
8. Obtener la expresión para la prima única neta correspondiente a (X), para una operación de seguro unitario pagadero al final de los 20 años desde el origen de la operación si fallece dentro de aquel período. Y al final del año de acaecimiento del suceso, si esto sucede después de transcurridos 20 años.
9. Expresar en símbolos de conmutación a prima única neta para una doble protección, cuando la empresa llevara funcionando 65 años, que proporcionará una prestación de 2 unidades monetarias cuando la quiebra de la empresa acaezca antes de que lleve funcionando 65 años y una prestación de 1 unidad monetaria después de que llevara funcionando 65 años. Supongamos que las prestaciones se pagan al final del año en que acaezca la quiebra.
Capítulo 7
Rentas vitalicias.
Renta vitalicias anticipadas
Renta vitalicia anticipada y temporal por n años
Renta vitalicia anticipada de por vida
Renta vitalicia anticipada y diferida
Renta vitalicia anticipada y diferida y temporal
Ejercicios del capítulo
7.1 Una persona de 30 años le interesa contratar un plan de jubilación que pague $12 000 anuales desde los 65 años. Determine el valor actuarial.
7.2 Una persona de 40 años le interesa contratar un plan de jubilación que pague $17 000 anuales desde los 65 hasta los 90 años. Determine el valor actuarial.
Capítulo 8
Rentas vitalicias vencidas.
Renta vitalicia vencida de por vida
Renta vitalicia vencida temporal
Rentas vencidas y diferidas
Renta vitalicia vencida diferida de por vida
Renta vitalicia vencida diferida y temporal
Ejercicios
8.1 Calcule el valor de la prima única que debería pagar un asegurado de 60 años para percibir $5 000 a partir de los 75 años si la renta es pos pagable y vitalicia.
8.2 Calcule el valor de la prima única que debería pagar un asegurado de 70 años para percibir $ 2 000 desde los 75 hasta los 85 años si la renta es postpagable y vitalicia.
Capítulo 9
Valores actuariales de rentas fraccionarias.
Rentas fraccionarias vencidas
Renta fraccionaria vencida de por vida
Renta fraccionaria vencida y diferida de por vida
Renta fraccionaria vencida y temporal
Renta vitalicia fraccionaria vencida diferida y temporal
Ejercicios
9.1 A una persona de 30 años le interesa un plan de liquidación que paga $1 000 mensuales desde los 65 años hasta que fallezca. Determine el valor actuarial si las rentas son vencidas.
9.2 A una persona de 25 le interesa un plan de jubilación que paga $2000 al mes desde los 65 años. Determine el valor actuarial si las rentas son vencidas.
Autoexamen 3
1. Calcular el valor actuarial total que paga rentas trimestrales de $20 000 desde los 65 hasta los 85 y que además incluye un seguro en caso de fallecimiento que paga $20 000 si fallece entre 35 y 36, $25 000 si fallece entre 36 y 37 y así hasta los 45 años. Suponga que x=30
2. A una persona de 20 años le interesa una operación de seguros que pague $1 000 000 al fin del año en caso de que fallezca antes de los 70 años y rentas mensuales de $1 000 desde los 70 años.
3. A una persona de 30 años le interesa un plan de jubilación que paga $6 000 si sobrevive a los 65 años, $8 000 si sobrevive a los 66 y así hasta los 70. También se quiere un seguro que ofrezca $50 000 en caso de fallecimiento entre 30 y 31, $60 000 entre 31y 32 y así hasta los 35 años. Calcule el valor de la prima total.
4. Una persona de 19 años contrata una cobertura que le pague a sus beneficiarios $50 000 si fallece antes de los 50 años, $30 000 si fallece pasado los 50 años. Si sobrevive a los 60 años recibe $20 0000 y si fallece durante los primeros 5 años de vigencia del contrato, se devuelve la prima pagada.
Capítulo 10
Introducción a los seguros colectivos y sociales.
-Tienen como objetivo proteger al sector de los trabajadores.
-Es obligatorio.
-Se financian por media de aportes del trabajador, el empresario y el Estado.
Grupo de supervivencia:
En donde:
a=abandono de servicio
f= fallecimiento.
i= invalidez.
j= jubilación.
Probabilidad de supervivencia.
Apéndice.
Cálculo del periodo de recuperación de la inversión.
Una empresa evaluá la posibilidad de invertir $95 000 en una pieza para un equipo que tiene una vida útil de 5 años. La empresa calculó los flujos de caja para cada periodo y determinó un costo de capital del 12%. Los flujos de caja se muestran a continuación:
Calcule el periodo de recuperación de la inversión
3,57
3 años 7 meses aproximadamente.
Análisis de la viabilidad de un proyecto
Con los datos anteriores analizar la viabilidad del proyecto.
= 9.080,60
Ejercicios del Apéndice
1 Una empresa contempla 3 proyectos y el costo de capital que se utilizara para cada uno de los proyectos es del 16%
¿Qué proyecto recomendaría tomando en cuenta el periodo de recuperación de la inversión?
2 Se pide valorar el proyecto de inversión de una compra de una máquina cuyo costo es de $50 000. Adicional a esto la empresa requerirá ciertas inversiones de corto plazo por $20 000. Si el nivel de ventas actual es de $10 000 por año y se espera que crezca en progresión geométrica a razón del 50% anual durante un periodo de 10 años. Los costos fijos son $5 000 y el costo de venta representa un 10% de las ventas. Analice si es viable o no la compra de dicha maquinaria sabiendo que el costo de capital es del 8% anual.
Formulas del texto
Renta vitalicias
Renta vitalicia anticipada y temporal por n años
Renta vitalicia anticipada de por vida
Renta vitalicia anticipada y diferida
Renta vitalicia anticipada y diferida y temporal
Renta vitalicia vencida de por vida
Renta vitalicia vencida temporal
Rentas vencidas y diferidas
Renta vitalicia vencida diferida de por vida
Renta vitalicia vencida diferida y temporal
Rentas fraccionarias vencidas
Renta fraccionaria vencida de por vida
Renta fraccionaria vencida y diferida de por vida
Renta fraccionaria vencida y temporal
Renta vitalicia fraccionaria vencida diferida y temporal
Respuesta a los ejercicios impares.
Capítulo 2
2.1
F(x)
2.2
S (B)
S(A)
2.3
2.5
2.7
Calculo de
Capítulo 3
3.1. 20112.807
Capítulo 4
4.1
4.3
Capítulo 5
5.1
5.3
Capítulo 6
6.1
6.3
Capítulo 7
7.1
Capítulo 8
8.1
Respuestas a los autoexámenes
Autoexamen 1
1. 0.9736 3. Falso 5. 450
Autoexamen 2
1. $3 578,42 3. 4 748.2 5. $24 136,72
Respuestas a los ejercicios del Apéndice.
1. C
Bibliografía.
Bowers, JR., Newton, L., Gerber, H., Jones, D. Actuarial Mathematics. The Society of Actuaries. 1997. Illinois.
Despachomatematicas. (s.f.). Introducción a la Matemática Actuarial. Obtenido de http://goo.gl/6yOpKH
Pinos, L. G. (Septiembre de 2015). Sesiones de Matemática Actuarial. Cuenca.
Sánchez, J. F. (s.f.). Construcción de una tabla de mortalidad para la poblaciones ecuatoriana . Obtenido de espol.edu.ec: https://www.dspace.espol.edu.ec/bitstream/123456789/2096/1/4202.pdf
Superintendencia de Bancos del Ecuador. (s.f.). Decreto supremo 1147. Obtenido de http://www.sbs.gob.ec/medios/PORTALDOCS/downloads/normativa/decreto_supremo_1147.pdf
Vicente, A., Hernández, J., Caballero, A., & Moreno, J. (s.f.). Elementos de Matemática Actuarial sobre Previsión Social y Seguros de Vida enfocado al Grado y Master en Ciencias Actuariales Y Financieras. Obtenido de http://www.ucm.es/info/sevipres/
PALABRAS CLAVE
Matemática Actuarial de las Operaciones de Seguro No Vida, Seguros Generales, Enseñanza práctica de la matemática actuarial, matemáticas y seguros, lo matemático y lo actuarial, Mortalidad, invalidez, supervivencia, demografía, tabla dinámica, práctica aseguradora, métodos de interpolación y ajuste, método de aproximaciones sucesivas, método de las proyecciones, símbolos de conmutación, sistema de reparto, sistema de capitalización, rentas actuariales, seguros colectivos, Seguridad Social, tasa de dependencia, población pasiva, población activa.
MATEMÁTICA ACTUARIAL
para todos.
Con ejercicios resueltos e ilustraciones de GeoGebra
MARCO SINCHI.
a Cynthia Gabriela.
Índice
Prefacio. 6
1. ¿Qué es la matemática actuarial? 7
1.1 Riesgos aleatorios comunes: 7
1.2 Tipos de Comportamientos frente al riesgo 8
1.3 ¿Cuáles son los temas de estudio la matemática actuarial? 10
2 Método de cálculo: seguros de vida privados. 11
2.1 Signos, códigos y significados. 12
2.2 La x 12
2.3 El lx 13
2.4 El dx 13
2.5 La 13
2.6 F(x) 13
2.7 S(x) 14
2.8 La 15
2.9 La 15
2.10 El Lx 16
2.11 La mx 16
2.12 El Tx 16
2.13 La 17
2.14 Ejercicios del capítulo 17
3 Modelos matemáticos. 18
3.1 Valores de conmutación 18
3.2 El ó VA 18
3.3 Valor de conmutación 19
3.4 Valor de conmutación 19
3.5 Valor de conmutación 19
3.6 Valor de conmutación 19
3.7 Valor de conmutación 19
3.8 Ejercicios del capítulo 20
3.9 Autoexamen 1 20
3.10 Apéndice del Capítulo 20
3.11 La mortalidad y la tabla de mortalidad. 20
4 Seguros de vida. 25
4.1 Operaciones de seguros pagaderas al fin del año de fallecimiento 25
4.2 Valor actuaria de una operación de seguros que paga un capital unitario al fin del año de fallecimiento de una persona de edad x siempre y cuando esto suceda pasado t años y dentro del año siguiente. 25
4.3 Valor actuarial de una operación de seguro que paga un capital unitario al fin del año de fallecimiento de una persona de edad x siempre que esto ocurra dentro de los n años siguientes. 26
4.4 Valor actuarial que paga un capital unitario al fin de un año de fallecimiento cuando sea que ocurra. 27
4.5 Ejercicios del capítulo 27
5 Seguros de vida diferidos . 29
5.1 Valor actuarial de una operación de seguros diferido de n años cuya prestación consiste en el pago de una unidad monetaria al fin del año de fallecimiento cuando sea que ocurra. 29
5.2 Valor actuarial diferido de una operación de seguros que paga un capital unitario al fin del año de fallecimiento si esto ocurre pasado m años pero dentro de n años 30
5.3 Valor actuarial de un capital unitario si transcurridos n años de x, el asegurado sobrevive. 31
5.4 Ejercicios del capítulo 31
6 Seguros de vida Variables. 33
6.1 Valor actuarial de una operación de segurosde vida temporal que paga una unidad monetaria si esque fallece entre x y x+1, dos unidades monetarias sifallece entre x+1 y x+2 y así sucesivamente hasta x+n 33
6.2 Valor actuarial de una operación de seguros de por vida creciente que paga una unidad monetaria si la persona fallece ente x y x+1, 2 unidades monetarias se fallece entre x+1 y x+2 y así hasta omega. 34
6.3 Valor actuarial de una operación de seguros de por vida creciente que paga una unidad monetaria si la persona fallece entre m y m+1, 2 unidades monetarias se fallece entre m+1 y m+2 y así hasta omega. 36
6.4 Valor actuarial de una operación de seguros creciente que paga una unidad monetaria si la persona fallece ente m y m+1, 2 unidades monetarias se fallece entre m+1 y m+2 y así hasta n. 37
6.5 Ejercicios del capítulo 39
6.6 Autoexamen 2 40
7 Rentas vitalicias. 43
7.1 Renta vitalicia anticipada y temporal por n años 43
7.2 Renta vitalicia anticipada de por vida 43
7.3 Renta vitalicia anticipada y diferida 43
7.4 Renta vitalicia anticipada y diferida y temporal 43
7.5 Ejercicios del capítulo 43
8 Rentas vitalicias vencidas. 44
8.1 Renta vitalicia vencida de por vida 44
8.2 Renta vitalicia vencida temporal 44
8.3 Renta vitalicia vencida diferida de por vida 44
8.4 Renta vitalicia vencida diferida y temporal 44
8.5 Ejercicios del capítulo 44
9 Valores actuariales de rentas fraccionarias. 46
9.1 Renta fraccionaria vencida de por vida 46
9.2 Renta fraccionaria vencida y diferida de por vida 46
9.3 Renta fraccionaria vencida y temporal 46
9.4 Renta vitalicia fraccionaria vencida diferida y temporal 46
9.5 Ejercicios del capítulo 46
9.6 Autoexamen 3 47
10 Introducción a los seguros colectivos y sociales. 48
10.1 Grupo de supervivencia 48
10.2 Probabilidad de supervivencia 48
11 Apéndice. 49
11.1 Calculo del periodo de recuperación de la inversión. 49
11.2Análisis de la viabilidad de un proyecto 49
11.3 Ejercicios del Apéndice 49
Formulas del texto 51
Respuesta a los ejercicios impares. 55
Respuestas a los autoexámenes 57
Respuestas a los ejercicios del Apéndice. 58
Bibliografía. 59
"Dios hizo los números enteros, el resto es el trabajo de los hombres."
Leopold Kronecker.
Prefacio
Este libro surgió después de haber recibido un breve curso introductorio de matemática actuarial y haber comprobado que no existen libros didácticos que permitan reforzar los conocimientos recibidos en clase mediante la resolución de ejercicios.
Una verdadera educación integral permite potenciar la capacidad creativa de los estudiantes llevándoles a teorizar y reinventar el conocimiento adquirido en un continuo proceso de crecimiento intelectual mediante la problematización de la realidad, por ello, este libro presenta en un principio los fundamentos y explicaciones cronológicas que permitirán comprender las bases estructurales para la resolución de los ejercicios. Posteriormente se deja al estudiante la mayor cantidad de demostraciones y ejercicios por resolver.
Mi agradecimiento al Econ. Mgt. Luis Gabriel Pinos L por haberme enseñado los fundamentos básicos de la matemática actuarial.
Finalmente espero que este libro sea útil para usted amig@ lector o lectora, sus críticas, sugerencias y detección de errores, en caso de existir, serán de gran ayuda para las próximas ediciones.
Marco Sinchi.
Capítulo1
¿Qué es la matemática actuarial?
La matemática actuarial es la ciencia que le permite cuantificar el riesgo en términos monetarios.
Riesgos aleatorios comunes:
-Incendio de propiedades.
-Pérdida financiera.
-Muerte.
-Supervivencia...
La matemática actuarial brinda seguridad financiera.
El los seguros de vida la matemática actuarial cuantifica el riesgo incierto mediante la utilización de datos de mortalidad (los cuales se expresan en tablas y varían en cada región o país). Estas tablas permiten obtener el valor de una prima que pueda cubrir el monto asegurable en caso de que se produzca el siniestro= ocurrencia del riesgo asegurado.
Tipos de Comportamientos frente al riesgo.
Adversos al riesgo-
Sacrifico recursos para no asumir riesgos
-Pago una prima.
Propensos al riesgo-
Me gusta el riesgo
-La utilidad respecto al riesgo es creciente.
Neutros al riesgo-
Con riesgo o sin riesgo igual la vida sigue.
¿Cuáles son los temas de estudio la matemática actuarial?
-Riesgos
-Utilidades.
-Seguros de vida y seguros de no vida
Cálculo de primas para Seguros privados.
-Seguros de vida en caso de muerte.
-Seguros de vida en caso de vida.
-Seguros de vida mixtos.
Cálculo de primas para Seguros colectivos y sociales.
Capítulo2
El método de cálculo: seguros de vida privados.
Para realizar los cálculos actuariales de los seguros de vida privados es necesario conocer el significado de las variables utilizadas.
Signos, códigos y significados.
La x
En matemática actuarial la x representa la edad de la persona asegurada la misma que puede estar entre o y .
El lx
El lx indica el número de sobrevivientes a la edad de x.
El dx
dx indica el número de fallecimientos a la edad de x.
La
es la variable aleatoria asociada con la edad de fallecimiento de un recién nacido.
F(x)
La F(x) es la función de distribución.
Ejercicio resuelto:
Representar la probabilidad de fallecimiento un recién nacido entre 15 y 20 años.
F(x)
S(x)
S(x) representa la función de supervivencia
La
Probabilidad de que una persona de edad x sobreviva a la edad x+ t
Ejercicio resuelto:
Plantear la probabilidad de que una persona de dos años sobreviva dos años más.
La
Probabilidad de que una persona de edad x fallezca dentro de t años
Ejercicio resuelto:
Plantear la probabilidad de que una persona de 22 años sobreviva 5 años más.
La
Probabilidad de que una persona de edad x sobreviva a la edad de x+t pero fallezca a la edad x+t+n
Ejercicio resuelto:
Plantear la probabilidad de que una persona de 27 años sobreviva a la edad de30pero muera a los 35
El Lx
El Lx es el promedio de sobrevivientes a la edad de x.
La mx
mx es la fuerza de mortalidad.
El Tx
El Tx es el tiempo futuro de supervivencia
La
es la esperanza de vida completa.
Ejercicios del capítulo
2.1 Representar la probabilidad de fallecimiento un recién nacido entre 45 y 60.
2.2 Representar la función de supervivencia de un recién nacido entre la edad de A y B donde B A.
2.3 Plantear la probabilidad de que una persona de 40 años sobreviva a la edad de 43.
2.4 Plantear
2.5 Plantear
2.6 Si la tabla de mortalidad viene representada por la función:
Calcule la probabilidad de supervivencia desde el origen hasta los 18 años.
2.7 Sabiendo que un determinado sector industrial se caracteriza por y que el colectivo inicial está constituido por 1000 personas se pide calcular:
2.8 Plantear la probabilidad de que una persona de 30 años sobreviva al menos 60 años más.
Capítulo3
Modelos Matemáticos.
Valores de conmutación.
Los valores de conmutación permiten sustituir formulas complejas por simples.
El ó VA
El representa el valor actual financiero de una unidad monetaria.
Valor de conmutación
Valor de conmutación
Valor de conmutación
Valor de conmutación
Valor de conmutación
Ejercicios
3.1 Si ,
3.2 Si ,
Autoexamen 1
1. Si y hallar y
2. ¿Incumbe a la aseguradora probar la ocurrencia del siniestro?
3. ¿Siniestro es la ocurrencia del riesgo?
4. Si
5. Si , calcule
Apéndice del Capítulo3
La mortalidad y la tabla de mortalidad.
La tabla de mortalidad refleja la relación años-supervivencia de una sociedad en particular en donde se obtiene restando el número de muertes ocurridas en un año x+1 del número de habitantes de edad x con estos datos se calcula en donde . Luego con la aplicación de las formulas presentadas en los capítulos anteriores de este libro se podrán calcular todos, funciones, probabilidades y valores de conmutación.
Los datos de la tabla variaran de acuerdo a los datos que se usen (generalmente estos datos provienen de censos o registros civiles).
Para los ejercicios se utilizaran los datos de la siguiente tabla.
Capítulo 4
Seguros de vida.
Operaciones de seguros pagaderas al fin del año de fallecimiento
1)Valor actuarial de una operación de seguros que paga un capital unitario al fin del año de fallecimiento de una persona de edad x siempre y cuando esto suceda pasado t años y dentro del año siguiente.
Ejercicio resuelto
Calcular la prima a pagar si el asegurado es una persona de 30 años y fija una suma asegurada de $ 80 000 si fallece entre 60 y 61.
Seguro temporal
2)Valor actuarial de una operación de seguro que paga un capital unitario al fin del año de fallecimiento de una persona de edad x siempre que esto ocurra dentro de los n años siguientes.
Ejercicio resuelto
Una persona de 20 años quiere contratar un seguro cuya suma asegurada es de $ 100 000 si fallece antes de los 60 años determine el valor actuarial.
Seguro de por vida
Valor actuarial que paga un capital unitario al fin de un año de fallecimiento cuando sea que ocurra.
Ejercicio resuelto
Una persona de 10 años quiere contratar un seguro que pague $ 150 000 a sus beneficiarios en caso de fallecimiento cuando sea que ocurra.
Ejercicios del capítulo
4.1 Calcular la prima a pagar si el asegurado es una persona de 50 años y fija una suma asegurada de 90 000 si fallece entre 60 y 61.
4.2 Una persona de 25 años quiere contratar un seguro cuya suma asegurada es de $ 100 000 si fallece antes de los 53 años determine el valor actuarial.
4.3 Una persona de 30 años quiere contratar un seguro que pague $ 200 000 a sus beneficiarios en caso de fallecimiento cuando sea que ocurra.
Capítulo5
Seguros de vida diferidos
1) Valor actuarial de una operación de seguros diferido de n años cuya prestación consiste en el pago de una unidad monetaria al fin del año de fallecimiento cuando sea que ocurra.
Ejercicio resuelto
Calcular el valor de una prima que va a cancelar una persona de 25 años para obtener una cobertura desde los 30 hasta el límite superior de supervivencia cuando sea que acurra si hoy fija una suma asegurada de $ 60 000
Seguro diferido temporal
Valor actuarial diferido de una operación de seguros que paga un capital unitario al fin del año de fallecimiento si esto ocurre pasado m años pero dentro de n años
Ejercicio resuelto
Una persona de 30 años está interesada en una operación de seguros que paga $50 000 si fallece entre 50 y 80 años. Calcule el valor de la prima.
Seguro de capital diferido para caso de vida
Valor actuarial de un capital unitario si transcurridos n años de x, el asegurado sobrevive.
Ejercicio resuelto
Una persona de 20 años está interesada en un seguro que paga $30 000 en caso de que llegue con vida a los 70 años
Ejercicios del capítulo 5
5.1 Calcular el valor de una prima que va a cancelar una persona de 35 años para obtener una cobertura desde los 45 hasta el límite superior de supervivencia cuando sea que acurra si hoy fija una suma asegurada de $ 90 000
5.2 Una persona de 40 años está interesada en una operación de seguros que paga $80 000 si fallece entre 70 y 80 años. Calcule el valor de la prima.
5.3 Una persona de 40 años está interesada en un seguro que paga $780 000 en caso de que llegue con vida a los 85 años.
Capítulo 6
Seguros de vida Variables
Seguro de vida variable y temporal
Valor actuarial de una operación de seguros de vida temporal que paga una unidad monetaria si es que fallece entre x y x+1, dos unidades monetarias si fallece entre x+1 y x+2 y así sucesivamente hasta x+n
Ejercicio resuelto
A una persona de 25 años le interesa una operación de seguros que le pague a sus beneficiarios $10 000 en caso de fallecimiento entre 25 y 26 años, $20 000 entre 26 y 27 años, $30 000 en caso de fallecimiento entre 27 y 28 y así hasta los 40 años. Calcule el valor actuarial
Aquí tenemos que calcular una prima compuesta que se la representará con el símbolo = seguro temporal + seguro variable
En donde
Segunda parte del ejercicio
Seguro de por vida variable
Valor actuarial de una operación de seguros de por vida creciente que paga una unidad monetaria si la persona fallece ente x y x+1, 2 unidades monetarias se fallece entre x+1 y x+2 y así hasta omega.
Ejercicio resuelto
Una persona de 30 años le interesa un seguro que tenga las siguientes coberturas: $5 000 si fallece entre 30 y 31 años, $ 7 000 si fallece entre 30 y 31, $ 9 000 si fallece entre 32 y 33 y así hasta omega.
Seguro variable diferido de por vida
Valor actuarial de una operación de seguros de por vida creciente que paga una unidad monetaria si la persona fallece entre m y m+1, 2 unidades monetarias se fallece entre m+1 y m+2 y así hasta omega.
Ejercicio resuelto
Una persona de 25 años desea las siguientes coberturas $ 65 000 si fallece entre 40 y 41años, $ 70 000 entre 42 y 43, $75 000 entre 43 y 44 y así hasta omega. Calcule el valor actuarial.
Seguro variable diferido y temporal
Valor actuarial de una operación de seguros creciente que paga una unidad monetaria si la persona fallece ente m y m+1, 2 unidades monetarias se fallece entre m+1 y m+2 y así hasta n.
Ejercicio resuelto
Una persona de 20 años desea las siguientes coberturas $ 55 000 si fallece entre 40 y 41años, $ 65 000 entre 42 y 43, $75 000 entre 43 y 44 y así hasta 60. Calcule el valor actuarial.
Ejercicios del capítulo
6.1) A una persona de 35 años le interesa una operación de seguros que le pague a sus beneficiarios $15 000 en caso de fallecimiento entre 35 y 36 años, $ 20 000 entre 36 y 37 años, $ 25 000 en caso de fallecimiento entre 37 y 38 y así hasta los 50 años. Calcule el valor actuarial
6.2) Una persona de 25 años le interés un seguro que tenga las siguientes coberturas: $25 000 si fallece entre 30 y 31 años, $ 37 000 si fallece entre 31 y 32, $ 39 000 si fallece entre 32 y 33 y así hasta omega.
6.3) Una persona de 35 años desea las siguientes coberturas $ 75 000 si fallece entre 50 y 51años, $ 90 000 entre 51 y 52, $105 000 entre 52 y 53 y así hasta omega. Calcule el valor actuarial.
6.4) Una persona de 22 años desea las siguientes coberturas $ 37 000 si fallece entre 60 y 61años, $ 41 000 entre 61 y 62, $45 000 entre 62 y 63 y así hasta los 70. Calcule el valor actuarial.
Autoexamen 2
Para los siguientes ejercicios cuando sea necesario utilizar los valores presentados en la tabla del apéndice del capítulo 3
1. A una persona de 22 años le interesa $60 000 si fallece antes de los 40 años, $65 000 entre 40 y 41 años, $70 000 entre 41 y 42 años y así hasta que cumpla los 60, año en el cual se extingue el beneficio.
2. A una persona de 25 años le interesa los siguientes beneficios $20 000 si fallece entre los 30 y 31 años, $40 000 si fallece entre 31 y 32 y así hasta $180 000 valor que permanece constante . Calcule el valor actuarial.
3. Calcule el valor actuarial de una operación de seguros en las que el asegurado de 40 años pide las siguientes coberturas:
a- $90 000 si fallece antes de cumplir los 60.
b- A la edad de 65 una vez cumplida la jubilación planifica realizar un viaje por un año y pide cobertura por dicho año, fijando una suma asegurada de $65 000
Datos adicionales
El número de personas sobreviviente a la edad de 65 es 83668
El número de personas sobrevivientes un año después es 82416
La tasa de interés es el 4%
es 96699 y el número de fallecidos a la edad de 39 es 137
Calcular la prima total.
4. A una persona de 20 años le interesa una operación de seguros que paga $100 000 si fallece antes de los 40, $180 000 si fallece entre 40 y 41 años, $160 000 entre 41 y 42 años y así sucesivamente hasta los $100 000. Valor que permanece constante. Calcule el valor actuarial.
5. Una persona de 45 años contrata el siguiente plan: $ 30 000 si fallece entre los 51 y 60 años, $20 000 si sobrevive a los 65 años, $40 000 si sobrevive a los 66, año en el cual se acaba el beneficio.
6. Calcular el seguro de vida temporal de uno de 30, si fallece dentro de 10 años, suponiendo que la mortalidad sigue la ley lx=100-X y que el tanto de interés es del 4% anual.
7. Una operación de seguros temporal por 10 años a favor de una persona de x años, proporcionará las siguientes prestaciones al fallecimiento. Pagaderas al fin del año de fallecimiento.
AÑO DE FALLECIMIENTO PRESTACIÓN POR FALLECIMIENTO
1 10
2 10
3 10
4 10
5 9
6 9
7 9
8 8
9 8
10 7
Se pide obtener la prima única neta en símbolos de conmutación correspondiente a las Mx, Mx+4, Mx+7, Mx+9, Mx+10
8. Obtener la expresión para la prima única neta correspondiente a (X), para una operación de seguro unitario pagadero al final de los 20 años desde el origen de la operación si fallece dentro de aquel período. Y al final del año de acaecimiento del suceso, si esto sucede después de transcurridos 20 años.
9. Expresar en símbolos de conmutación a prima única neta para una doble protección, cuando la empresa llevara funcionando 65 años, que proporcionará una prestación de 2 unidades monetarias cuando la quiebra de la empresa acaezca antes de que lleve funcionando 65 años y una prestación de 1 unidad monetaria después de que llevara funcionando 65 años. Supongamos que las prestaciones se pagan al final del año en que acaezca la quiebra.
Capítulo 7
Rentas vitalicias.
Renta vitalicias anticipadas
Renta vitalicia anticipada y temporal por n años
Renta vitalicia anticipada de por vida
Renta vitalicia anticipada y diferida
Renta vitalicia anticipada y diferida y temporal
Ejercicios del capítulo
7.1 Una persona de 30 años le interesa contratar un plan de jubilación que pague $12 000 anuales desde los 65 años. Determine el valor actuarial.
7.2 Una persona de 40 años le interesa contratar un plan de jubilación que pague $17 000 anuales desde los 65 hasta los 90 años. Determine el valor actuarial.
Capítulo 8
Rentas vitalicias vencidas.
Renta vitalicia vencida de por vida
Renta vitalicia vencida temporal
Rentas vencidas y diferidas
Renta vitalicia vencida diferida de por vida
Renta vitalicia vencida diferida y temporal
Ejercicios
8.1 Calcule el valor de la prima única que debería pagar un asegurado de 60 años para percibir $5 000 a partir de los 75 años si la renta es pos pagable y vitalicia.
8.2 Calcule el valor de la prima única que debería pagar un asegurado de 70 años para percibir $ 2 000 desde los 75 hasta los 85 años si la renta es postpagable y vitalicia.
Capítulo 9
Valores actuariales de rentas fraccionarias.
Rentas fraccionarias vencidas
Renta fraccionaria vencida de por vida
Renta fraccionaria vencida y diferida de por vida
Renta fraccionaria vencida y temporal
Renta vitalicia fraccionaria vencida diferida y temporal
Ejercicios
9.1 A una persona de 30 años le interesa un plan de liquidación que paga $1 000 mensuales desde los 65 años hasta que fallezca. Determine el valor actuarial si las rentas son vencidas.
9.2 A una persona de 25 le interesa un plan de jubilación que paga $2000 al mes desde los 65 años. Determine el valor actuarial si las rentas son vencidas.
Autoexamen 3
1. Calcular el valor actuarial total que paga rentas trimestrales de $20 000 desde los 65 hasta los 85 y que además incluye un seguro en caso de fallecimiento que paga $20 000 si fallece entre 35 y 36, $25 000 si fallece entre 36 y 37 y así hasta los 45 años. Suponga que x=30
2. A una persona de 20 años le interesa una operación de seguros que pague $1 000 000 al fin del año en caso de que fallezca antes de los 70 años y rentas mensuales de $1 000 desde los 70 años.
3. A una persona de 30 años le interesa un plan de jubilación que paga $6 000 si sobrevive a los 65 años, $8 000 si sobrevive a los 66 y así hasta los 70. También se quiere un seguro que ofrezca $50 000 en caso de fallecimiento entre 30 y 31, $60 000 entre 31y 32 y así hasta los 35 años. Calcule el valor de la prima total.
4. Una persona de 19 años contrata una cobertura que le pague a sus beneficiarios $50 000 si fallece antes de los 50 años, $30 000 si fallece pasado los 50 años. Si sobrevive a los 60 años recibe $20 0000 y si fallece durante los primeros 5 años de vigencia del contrato, se devuelve la prima pagada.
Capítulo 10
Introducción a los seguros colectivos y sociales.
-Tienen como objetivo proteger al sector de los trabajadores.
-Es obligatorio.
-Se financian por media de aportes del trabajador, el empresario y el Estado.
Grupo de supervivencia:
En donde:
a=abandono de servicio
f= fallecimiento.
i= invalidez.
j= jubilación.
Probabilidad de supervivencia.
Apéndice.
Cálculo del periodo de recuperación de la inversión.
Una empresa evaluá la posibilidad de invertir $95 000 en una pieza para un equipo que tiene una vida útil de 5 años. La empresa calculó los flujos de caja para cada periodo y determinó un costo de capital del 12%. Los flujos de caja se muestran a continuación:
Calcule el periodo de recuperación de la inversión
3,57
3 años 7 meses aproximadamente.
Análisis de la viabilidad de un proyecto
Con los datos anteriores analizar la viabilidad del proyecto.
= 9.080,60
Ejercicios del Apéndice
1 Una empresa contempla 3 proyectos y el costo de capital que se utilizara para cada uno de los proyectos es del 16%
¿Qué proyecto recomendaría tomando en cuenta el periodo de recuperación de la inversión?
2 Se pide valorar el proyecto de inversión de una compra de una máquina cuyo costo es de $50 000. Adicional a esto la empresa requerirá ciertas inversiones de corto plazo por $20 000. Si el nivel de ventas actual es de $10 000 por año y se espera que crezca en progresión geométrica a razón del 50% anual durante un periodo de 10 años. Los costos fijos son $5 000 y el costo de venta representa un 10% de las ventas. Analice si es viable o no la compra de dicha maquinaria sabiendo que el costo de capital es del 8% anual.
Formulas del texto
Renta vitalicias
Renta vitalicia anticipada y temporal por n años
Renta vitalicia anticipada de por vida
Renta vitalicia anticipada y diferida
Renta vitalicia anticipada y diferida y temporal
Renta vitalicia vencida de por vida
Renta vitalicia vencida temporal
Rentas vencidas y diferidas
Renta vitalicia vencida diferida de por vida
Renta vitalicia vencida diferida y temporal
Rentas fraccionarias vencidas
Renta fraccionaria vencida de por vida
Renta fraccionaria vencida y diferida de por vida
Renta fraccionaria vencida y temporal
Renta vitalicia fraccionaria vencida diferida y temporal
Respuesta a los ejercicios impares.
Capítulo 2
2.1
F(x)
2.2
S (B)
S(A)
2.3
2.5
2.7
Calculo de
Capítulo 3
3.1. 20112.807
Capítulo 4
4.1
4.3
Capítulo 5
5.1
5.3
Capítulo 6
6.1
6.3
Capítulo 7
7.1
Capítulo 8
8.1
Respuestas a los autoexámenes
Autoexamen 1
1. 0.9736 3. Falso 5. 450
Autoexamen 2
1. $3 578,42 3. 4 748.2 5. $24 136,72
Respuestas a los ejercicios del Apéndice.
1. C
Bibliografía.
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PALABRAS CLAVE
Matemática Actuarial de las Operaciones de Seguro No Vida, Seguros Generales, Enseñanza práctica de la matemática actuarial, matemáticas y seguros, lo matemático y lo actuarial, Mortalidad, invalidez, supervivencia, demografía, tabla dinámica, práctica aseguradora, métodos de interpolación y ajuste, método de aproximaciones sucesivas, método de las proyecciones, símbolos de conmutación, sistema de reparto, sistema de capitalización, rentas actuariales, seguros colectivos, Seguridad Social, tasa de dependencia, población pasiva, población activa.