En el capitulo anterior, empezamos a hablar de formas de contar y miramos cuantas placas de carro pueden existir, y cuantos discos podía comprar de cinco si tenia solo dinero para comprar tres. Si es la primera vez que llegas a hablemos de datos, te invito a que escuches antes el episodio numero 3: Aprendiendo a contar – Parte 1, para poder disfrutar plenamente de este episodio.

Hoy vamos a hablar de permutaciones y combinaciones.
Así que sin más ni más, hablemos de datos…

¿Qué es una permutación?... es el ejercicio de ordenar un grupo de elementos de todas las formas posibles, ¿Quién ira primero?, ¿Quién ira segundo?,… y así sucesivamente hasta preguntarse ¿Quién ira de último?, muy bien para poder definir eso vamos a definir un concepto en matemáticas que se llama: “Factorial”

No olviden que hablemos de datos es un podcast con la intención de entretener y dejar algún tipo de conocimiento, nunca manejaremos conceptos que requieran una formación previa en matemáticas o estadística, por lo que este contenido es apto para todos los públicos.

Volviendo la tema de los números factoriales, podemos decir que un número factorial es un número entero cuyo valor resulta de multiplicarlo por todos los números anteriores.
Pongamos un ejemplo para hacerlo más claro, 1! Es 1 por que es el primer numero entero positivo, 2! Seria 2 x 1 Es decir 2, 3! = 3 x 2 x 1, 3 x 2 = 6 y 6 x 1 = 6, muy bien, entonces cuanto seria 4!... obviamente 24.

Y los números factoriales resultan relevantes a la hora de contar, ya que para el tema de las permutaciones, el número de formas de ordenar un conjunto que tiene x elementos es precisamente x factorial.

En el episodio pasado hable de la compra de cinco discos, que, para simplificar los llame los discos A, B, C, D y E, por ahora supongamos que ya los compré y los quiero escuchar, y debo determinar el orden en el que los quiero oír.

Y claro surge la pregunta que de nuevo solo a un matemático se le ocurre: ¿De cuantas formas diferentes puedo escuchar mis discos?, para escuchar en primer lugar tengo cinco opciones, en el segundo lugar cuatro opciones ya que ya habré escuchado uno, para el tercer lugar tendré tres opciones, para el cuarto lugar dos opciones y para el quinto lugar no me quedará sino una sola opción.

Así que aplicando el principio fundamental del conteo el número de casos posibles es 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 120 variaciones de orden para escuchar mis discos que es precisamente 5!. A esto le llamamos una permutación de 5!

Pero claro la duda no queda solo ahí, ¿Qué pasaría si yo no hubiera comprado 5 discos sino 7 pero solo quisiera escuchar 4 y quisiera mirar en que orden los escucho, para escuchar en primer lugar tendría 7 opciones, en segundo lugar 6 opciones, en tercer lugar 5 opciones y en cuarto lugar 4 opciones, y en ese punto me detengo, 7 x 6 x 5 x 4 = 840 posibles permutaciones, ahora bien 840 puede estimarse como el numero factorial de discos que tengo es decir 7! Dividido entre el número factorial de discos que no voy a escuchar es decir 3!, como 7! Es 5.040 y 3! Es 6, 5040 divido entre 6 me da precisamente 840.

En este punto de relato, y si todavía no están cansados de tanto número, a algunos los números no nos cansan sino que nos apasionan y espero que con este podcast ustedes se vuelvan de los apasionados, vale la pena saber si esto sirve para algo, y les diré que si, en general me permite, por ejemplo establecer el número de formas en que podría sentar a unas personas en una mesa, en un evento social por ejemplo, pero mas allá nos permite estimar un concepto adicional que son las combinaciones.

Ya conociendo el tema de permutaciones y viendo como los números aumentan sin límite podemos entrar a ver el segundo concepto de este podcast, las combinaciones.

Volviendo al tema de mis discos, recordemos que mencione al final del episodio 3, que había ido a comprar discos, que encontré cinco discos que me gustaban pero solo tenia dinero para tres y mire todas las posibles combinaciones de discos que podía comprar, el resultado fue 5 x 4 x 3 = 60, que como sabemos ya es equivalente a 5! Que da 120, dividido entre 2! Que es 2, 120 dividido entre 2 da 60, hasta aquí todo va bien

Pero también mencione que después de seleccionar esos tres discos no importaba el orden en que se fueran porque da lo mismo si llevo los discos A, B y C, que los discos C, B y A así que lo que tengo en el fondo es que puedo tomar esas 60 opciones y dividirlas entre todas las formas que tengo de ordenar los tres discos seleccionados, es decir una permutación, que debo permutar, pues la forma en que debo ordenar esos tres discos, que como sabemos es 3! Es decir 3 x 2 x 1 = 6
60 / 6 = 10, que es el total de casos posibles de llevarme tres discos de un grupo de cinco, a esto lo llamamos una combinación y es fundamental para el estudio de las estadísticas.

Muchas veces amigos y conocidos me han hecho preguntas como: cuantos cartones de baloto diferente existen, espero hoy responderles esa pregunta.

Aunque ahora existe un juego llamado baloto revancha me voy a ir por el tradicional baloto que consistía en escoger 6 números de una tabla de 45, es decir debemos hacer una combinación entre 45 y 6, y se calcula así, para la primera opción tenemos 45 posibilidades, para la segunda 44 posibilidades, y seguimos como lo hemos visto antes, lo cual es lo mismo que dividir 45! Entre las opciones que no vamos a tomar es decir 39!, y estamos hablando de números muy grandes 45! Y 39! Son números con 56 dígitos de longitud uno y con 46 dígitos de longitud el otro´, esa división nos da casi 6.000 millones de combinaciones posibles de números, pero esas combinaciones de 6 pueden tener cualquier orden así debemos dividir esos 6 mil millones entre 6! O sea entre 720, teniendo el valor de 8´145.060 combinaciones diferentes de Baloto y una sola es la ganadora.

Como decíamos en la universidad, los que saben de estadística no compra la lotería y los otros, los que no saben .. se la ganan.

Quiero preguntarles que tan complejo y entendible fue le tema de este post ¿Si se entendió?, para aquellas mentes curiosas ansiosas de conocimiento dejare un enlace donde pueden profundizar, sin embargo si lo desean y me lo solicitan realizo un video que nos de soporte de imagen para ver esto más a detalle.

Donde saber más: https://www.disfrutalasmatematicas.com/combinatoria/combinaciones-permutaciones.html

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